O Évariste Galois

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Uma cópia das anotações de Galois foi entregue nas mãos de Joseph Liouville em 1846. Liouville reconheceu as ideias do gênio naqueles cálculos e passou meses tentando decifrar seus significados. Finalmente, ele editou os artigos e publicou no famoso Jornal de Mathématiques Pures et Appliquées. Galois tinha de fato formulado uma completa explicação de como se poderia obter soluções para equações do quinto grau.

A teoria de Galois, não somente traz resposta para estas questões, como ela também explica porque é possível resolver equações de grau 4 ou menores da mesmo forma e porque suas soluções assumem as formas que têm.

Se é dado um polinômio, pode acontecer de que algumas das raízes estão concatenadas por equações algébricas.

Por exemplo:

Dado duas raízes A e B de um dado polinômio, a equação [pic 1] as conecta.

A idéia central da teoria de Galois, é considerar que permutações (ou rearranjos) dessas raízes tenham propriedades para quais quer equações algébricas, satisfeita pelas raízes, e ainda satisfeita depois destas raízes terem sido permutadas.

Um importante pré-requisito é delimitar as equações algébricas onde, coeficientes são números racionais.

Estas permutações juntas formam um grupo, também conhecido como grupo Galois.

Exemplos:

1-Uma equação quadrática

Considerando a equação quadrática [pic 2]

Utilizando a formula de Bhaskara, encontramos duas raízes:

[pic 3] e [pic 4]

Equações algébricas satisfeitas por A e B incluem

[pic 5] e [pic 6]

Observando as equações, se nós trocarmos o A pelo B, conseguimos encontrar outras expressões verdadeiras.

A equação [pic 7] torna-se simplesmente [pic 8].

Além disso, sabemos que isso é válido também para equaçôes algébricas verdadeiras de coeficientes racionais satisfeita por A e B. Uma outra forma d

e provar este fato requer conhecimento da teoria dos polinômios simétricos.

Conclui-se então que os grupos de Galois do polinômio [pic 9] consistem de duas permutações:

- a permutação identidade, a qual deixa A e B inalterado, e a permutação de transposição, a qual alterna A e B. Como um grupo, ele é equivalente ao grupo alternado de ordem dois, representado por Z/2Z.

Pode-se ainda levantar a objeção que A e B são relacionados ainda a outra equação algébrica,

[pic 10]

Não sendo mais verdadeira , quando A e B são trocados.

2- Considere o polinômio [pic 11], que pode também pode ser

representado por [pic 12]

Recorrendo ao grupo de Galois desse polinômio, novamente utilizando os números racionais. O polinômio tem quatro raízes:

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

Obtemos 24 possibilidades para permutar essas 4 raízes, mas nem todas são membros do grupo de Galois. Os membros dos grupos de Galois devem preservar qualquer equação algébrica com coeficiente racional

envolvendo A, B, C e D. sendo assim : [pic 17]

Porem a permutação [pic 18] , não é permitida, pois transforma a equação válida [pic 19] na equação [pic 20], a qual é inválida, visto que [pic 21].

Outra equação que as raízes da equação satisfazem é [pic 22]

Esta eliminaa outras permutações, tais como:

[pic 23]

Continuando nesse processo, descobrimos que as únicas permutações que irão satisfazer todas as equações são:

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

e o grupo de Galois é equivalente ao grupo de Klein.

BIBLIOGRAFIA:

http://super.abril.com.br/cultura/evariste-galois-o-genio-azarado

http://www.vivendoentresimbolos.com/2012/05/evariste-galois-o-matematico-frustrado.html

Livro de Mario Livio: "A Equação que ninguém Conseguia Resolver"

https://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_de_Galois