Deflexão

...

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Figura 4 - Carga distribuída, momento e linha elástica.

Para representação de cálculos, consideramos que a viga não deformada é composta de infinitas fibras longitudinais do comprimento total do balanço L, quando a viga sofre um esforço tende a fletir, com isso, as fibras próximas a superfície superior se alongam ocasionando o fenômeno chamado tração e as inferiores tendem a se contrair ocasionando o fenômeno chamado compressão.

Hipótese de pequenas deformações as seções transversais permanecem planas e perpendiculares à curva neutra.

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Para grandes deformações as hipóteses não são mais respeitadas

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- Teoria da Elasticidade ou Módulo de Young

O que é Módulo de elasticidade?

É a razão entre a tensão e a deformação na direção da carga aplicada (regime elástico), sendo a máxima tensão que o material suporta sem sofrer deformação permanente (regime plástico).

Módulo de Young ou módulo de elasticidade é uma medida mecânica da rigidez do material sólido. É um parâmetro fundamental para a engenharia e aplicação de materiais pois está associado com a descrição de várias outras propriedades mecânicas, como por exemplo, a tensão de escoamento, a tensão de ruptura, a variação de temperatura crítica para a propagação de trincas sob a ação de choque térmico entre outros.

Assim:

[pic 17]

Onde:

E = módulo de elasticidade ou módulo de Young

σ = tensão aplicada

ε = deformação elástica longitudinal do corpo de prova

∆L = variação do comprimento, medido em metros.

L0 = comprimento inicial, medido em metros

Temos:

[pic 18]

Por isso, quando a viga é flexionada, ocorrem em cada ponto ao longo do eixo uma deflexão (v) e uma rotação (θ). E o ângulo de rotação “θ” é o ângulo entre o eixo “x” e a tangente à curva da linha elástica.

Viga Flexionada→ Deflexão em cada ponto ao longo do eixo

Rotação em cada ponto

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Figura 7 - Rotação da viga, escala infinitesimal.

Ângulo de rotação θ - É o ângulo entre o eixo x e a tangente à curva de deflexão.

Observações:

θ é negativo no sentido horário.

Notação: Ângulo de rotação = Ângulo de inclinação = Ângulo de declive

Ângulo de rotação em m2 = θ+dθ

dθ – Aumento no ângulo conforme nos movemos do ponto m1 para o ponto m2.

Ângulo entre as normais as tangentes = dθ

Ponto de interseção entre as normais as tangentes = O’ (Centro de curvatura)

ρ - Raio de curvatura ou braço – Distância de O’ à curva e é dado pela seguinte expressão:[pic 21]

Onde dθ é dado em radianos e ds é a distância ao longo da curva de deflexão entre os pontos m1 e m2.

A curvatura é dada por:

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Onde K é o módulo de elasticidade linear dos materiais, o mesmo encontrado na Lei de Hooke

A inclinação da curva de deflexão é a primeira derivada dν /dx . Geometricamente, a inclinação da curva de deflexão é o incremento dν na deflexão (conforme vamos do ponto m1 para o ponto m2). Dividindo pelo incremento dx na distância ao longo do eixo x.

Logo podemos concluir que:

[pic 23][pic 24]

Considerando as Vigas de Pequena Rotação.

Quando o θ → 0.

Quando isso ocorre.

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27] e [pic 28]

- Deformação Específica

Lei de Hooke para materiais elásticos lineares

[pic 29]

Essa equação pode ser integrada em cada caso particular para se obter, ν, M e EI que são funções de x. Equações adicionais podem ser obtidas a partir das relações entre o momento fletor M, a força de cisalhamento V e a intensidade q da carga distribuída, como a seguir:

[pic 30]

Utilizando das condições de contorno e continuidade relativo a flexão de vigas engastadas.

[pic 31]

Figura 8 - condições de viga em balanço com um apoio

Aplicando as formulas em uma equação, de forma a obter o valor do modulo de elasticidade por flexão.