Revisão MD-I

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PROPRIEDADES OPERACIONAIS PARA A SOMA E MULTIPLICACAO

- Para adicionar números inteiros de mesmo sinal, adicione os números conservando o sinal no resultado.

- Para adicionar números inteiros de sinais diferentes, subtraem-se os números, dando ao resultado o sinal do inteiro de maior valor absoluto.

- O produto de dois inteiros que tem sinais diferentes é um numero negativo cujo valor absoluto é obtido pelo produto dos números.

- O produto de dois inteiros de mesmo sinal é um numero positivo, cujo valor absoluto é obtido pelo produto dos valores absolutos dos números.

NUMEROS RACIONAIS

É necessário considerar frações de um modo geral do tipo m/n , onde m e n são números inteiros arbitrários, inclusive números negativos. Assim, por exemplo, as frações −2/3 e 5/−7 são equivalentes, respectivamente, às frações −2/3 e −5/7.

[pic 1].[pic 2]

i) Inclusão de conjuntos:

Vale a inclusão de conjuntos Z ⊂ Q. Pois se m ∈ Z, então m = m/1 ∈ Q.

ii) Igualdade de números racionais: Dois números racionais m/n e p/r são iguais se e somente

se mr = np. Em símbolos:

m/n = p/r ⇐⇒ m· r = n · p.

Comentário: Já tivemos ocasião de falar sobre essa igualdade antes da definição do conjunto Q. Esse resultado é referido como “regra do produto cruzado” para identificar duas frações iguais ou dois números racionais iguais.

iii) Divisão de números racionais: Se p/r ≠ 0, a divisão do numero m/n por p/r é definida por

m/n ÷ p/r = m/n × r/p = mr/np.

iv) Inverso de números racionais: Se p/r ≠ 0, o inverso de p/r é o numero racional r/p.

Note que p/r x r/p = 1.

RELACAO DE ORDEM NOS NUMEROS RACIONAIS

[pic 3]

A conclusão sobre a desigualdade das frações que acabamos de expressar só vale com a condição de que os denominadores n e r sejam positivos.

REPRESENTACAO GEOM´E TRICA DOS NUMEROS RACIONAIS

- Representar numa reta o numero racional 2/3, Este numero é uma fração da unidade. Basta dividir a unidade em três partes iguais e avançar duas casas a partir do ponto inicial.

[pic 4]

b) Considere o numero racional 153/4 . A divisão de 153 por 4 dá 38 e deixa resto 1. Assim, podemos escrever:

[pic 5]

Agora, dividimos o intervalo unitário destacado em quatro partes iguais. Em seguida, a partir do ponto representado pelo numero 38, avançamos uma casa para encontrar o ponto correspondente ao numero procurado. Em destaque, na figura a seguir, esta indicado o ponto que corresponde ao numero 153/4.

[pic 6]

RELACAO DE ORDEM NOS NU MEROS RACIONAIS

A representação dos números racionais sobre uma reta orientada permite estabelecer uma relação de ordem no conjunto Q. Suponha que os números racionais estão representados sobre

uma reta horizontal, estando os números negativos a esquerda e os positivos a direita.

[pic 7]

AULA3

Algumas das principais características da Matemática são a abstração, a precisão, o rigor logico e a diversidade de aplicações.

SENTENCAS MATEMATICAS

Sob o ponto de vista da logica, devemos lidar com as sentenças declarativas, às quais podemos atribuir um valor verdade, isto é, cada sentença será verdadeira ou falsa.

FUNCOES PROPOSICIONAIS - Expressões que contem uma ou mais variáveis são chamadas

de funções proposicionais. Quando as variáveis são substituídas por constantes, a expressão torna-se uma proposição (verdadeira ou falsa, conforme as constantes atribuídas). Essas expressões também podem ser chamadas de sentenças abertas.

AXIOMAS E TEOREMAS - Distinguir o falso do verdadeiro é o objetivo fundamental na Matemática. A lógica aqui tem um papel central. Dito de outro modo, usando as regras da logica, provamos quando uma determinada sentença é verdadeira ou falsa. Nesse esquema, partimos

de um conjunto inicial de sentenças básicas que consideramos verdadeiras (as quais chamamos axiomas) e, usando as regras definidas pela logica (que são as regras do jogo), provamos a veracidade de novas sentenças. Essas novas sentenças verdadeiras são chamadas teoremas, e podem também ser usadas na demonstração de novos teoremas. É dessa maneira que engendramos a teia que forma a Matemática.

Em logica, consideramos apenas as sentenças que podem ser qualificadas como falsas ou verdadeiras. Tais sentenças serão chamadas de proposições. Usamos letras minúsculas, como p

ou q, para representar proposições.

Proposições são sentenças declarativas. Cada uma delas possui valor-verdade bem estabelecido, qualificando-a como verdadeira ou falsa. Cada proposição determina, de maneira

única, uma outra proposição que é a sua negação e que tem valor-verdade oposto ao seu.

Lembre-se de que atribuir um valor-verdade a uma sentença, ou ainda, determinar a veracidade de uma proposição, pode ser uma questão delicada e difícil.

CONECTIVOS E PROPOSICOES COMPOSTAS

Usando duas proposições p e q, podemos construir uma nova proposição p e q, chamada de conjunção de p e q. Usamos o símbolo p∧q para denota-la. A sentença p∧q é verdadeira caso ambas, p e q, sejam verdadeiras. Em qualquer outra situação, ela será falsa.

A partir de duas proposições p e q, também podemos construir a proposição composta p ou q, chamada de disjunção de p e q. Usamos o símbolo p∨q. Lê-se “p ou q”;

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