Física no seu dia a dia

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{\displaystyle \Delta s={\frac {v^{2}-v_{0}^{2}}{2a}}} {\displaystyle \Delta s={\frac {v^{2}-v_{0}^{2}}{2a}}}

O que nos dá uma relação entre o deslocamento e a mudança de velocidade ( {\displaystyle v} v é a velocidade correspondente ao final do deslocamento e {\displaystyle v_{0}} v_{0} é a velocidade correspondente ao seu início).

Essa equação é o primeiro passo para um tratamento da mecânica que seja independente do tempo envolvido. Mas ainda há nela um fator que remete ao tempo: a aceleração. De forma qualitativa, essa equação nos diz que, quanto maior for o módulo da aceleração que levou o corpo da velocidade {\displaystyle v_{0}} v_{0} à velocidade {\displaystyle v} v, menor é o espaço percorrido durante essa transformação. De modo simples: se a mudança de velocidade demorou mais, então sobrou mais tempo para que o corpo se movesse enquanto isso. Para eliminar esse fator que é tão dependente da maneira como se deu a mudança de velocidades (o que é contraditório com um tratamento atemporal), devemos multiplicar ambos os lados da equação por {\displaystyle a} a e passar a pensar em {\displaystyle a\Delta s} {\displaystyle a\Delta s} como uma entidade única, relacionada apenas com a variação absoluta do quadrado da velocidade dividido por dois:

{\displaystyle a\Delta s={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2}}} {\displaystyle a\Delta s={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2}}}

Independentemente de como foi realizada a transformação, o {\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2}}} {\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2}}} será sempre igual à entidade {\displaystyle a\Delta s} {\displaystyle a\Delta s}, de modo que finalmente temos um tratamento atemporal no movimento uniformemente variado.

Entretanto, queremos estender isso ao movimento geral. Para isso, primeiro temos que estabelecer uma relação entre o movimento retilíneo e o movimento curvo, a fim de estender nossos conceitos de um para o outro. Para fazer isso, lembramos as relações entre os vetores velocidade, posição e aceleração: a aceleração é a derivada temporal da velocidade e a velocidade é a derivada temporal da posição. Agora pensemos em qualquer "deslocamento infinitesimal" {\displaystyle d{\vec {r}}} {\displaystyle d{\vec {r}}}. Temos que:

{\displaystyle d{\vec {r}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}.dt={\vec {v}}dt} {\displaystyle d{\vec {r}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}.dt={\vec {v}}dt}

Ou seja, qualquer deslocamento infinitesimal se dá na direção da velocidade instantânea (desde que a posição seja descrita por uma função vetorial contínua). Como a direção da velocidade instantânea é uma só, então cada deslocamento infinitesimal é retilíneo.

Agora, devemos descobrir o quanto a nossa entidade {\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2}}} {\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2}}} muda nesse intervalo infinitesimal de tempo em que os deslocamentos são retilíneos. Para isso, derivamos a entidade em relação ao tempo:

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left[{\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2}}\right]=v{\frac {dv}{dt}}} {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left[{\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2}}\right]=v{\frac {dv}{dt}}}

Note que a derivada {\displaystyle {\frac {dv}{dt}}} {\displaystyle {\frac {dv}{dt}}} NÃO corresponde ao vetor aceleração, como mostraremos logo.

Antes disso, voltemos por um instante à nossa entidade {\displaystyle a\Delta s={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2}}} {\displaystyle a\Delta s={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2}}} (que só é válida para o MRUV). Claramente, se considerarmos o deslocamento como sendo sempre positivo, então uma aceleração negativa (no sentido oposto ao do movimento) implica uma diminuição da magnitude da velocidade, enquanto uma aceleração positiva (no mesmo sentido do movimento) aumenta a magnitude da velocidade.

E quanto a uma aceleração que não se dá na mesma direção do deslocamento? Vejamos a seguinte relação:

{\displaystyle {\vec {v}}=v{\hat {v}}} {\displaystyle {\vec {v}}=v{\hat {v}}}

Onde {\displaystyle v} v é a magnitude da velocidade e {\displaystyle {\hat {v}}} {\displaystyle {\hat {v}}} é o vetor unitário que indica a direção da velocidade. Sendo assim, para obter a aceleração derivamos a expressão {\displaystyle v{\hat {v}}} {\displaystyle v{\hat {v}}}, usando a regra da cadeia:

{\displaystyle {\vec {a}}={\frac {dv}{dt}}{\hat {v}}+v{\frac {d{\hat {v}}}{dt}}} {\displaystyle {\vec {a}}={\frac {dv}{dt}}{\hat {v}}+v{\frac {d{\hat {v}}}{dt}}}

Onde vemos que um componente da aceleração (na mesma direção da velocidade), muda a magnitude da velocidade ( {\displaystyle {\frac {dv}{dt}}{\hat {v}}} {\displaystyle {\frac {dv}{dt}}{\hat {v}}}), enquanto o outro componente muda apenas a direção da velocidade ( {\displaystyle v{\frac {d{\hat {v}}}{dt}}} {\displaystyle v{\frac {d{\hat {v}}}{dt}}}, lembrando que a derivada de um vetor unitário é sempre na direção perpendicular a esse vetor unitário). Ou seja, como destacamos acima, a derivada {\displaystyle {\frac {dv}{dt}}} {\displaystyle {\frac {dv}{dt}}} corresponde a apenas um componente da aceleração: o componente que se dá na direção da velocidade.

Esse componente equivale a:

{\displaystyle {\frac {dv}{dt}}={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {v}}}{v}}} {\displaystyle {\frac {dv}{dt}}={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {v}}}{v}}}

Note que, quando esse produto escalar é negativo, é porque a componente da aceleração que está na direção do deslocamento está no sentido oposto a ele. Isso implica uma diminuição da magnitude da velocidade, em concordância com a situação encontrada no MRUV.

Agora, a mudança infinitesimal na nossa entidade {\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2}}} {\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2}}} fica:

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left[{\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2}}\right]=v{\frac {dv}{dt}}={\vec {a}}\cdot {\vec {v}}} {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left[{\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2}}\right]=v{\frac {dv}{dt}}={\vec {a}}\cdot {\vec {v}}}

Mas queremos saber essa mudança em um intervalo de tempo qualquer. Então integramos com relação ao tempo:

{\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2}}=\int {\vec {a}}\cdot {\vec {v}}dt}