Lógica Matematicamente

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Assim sendo, o conjunto dos elementos x que possuem a propriedade P é indicado por

{x, tal que x tem a propriedade P}, sendo “tal que” = |

Exemplos:

{x | x é vogal} é o mesmo que {a,e,i,o,u}

{x | x é um número natural menor que 4} é o mesmo que {0,1,2,3}

{x | x é um número inteiro e x² = x} é o mesmo que {0,1}

2.3 Pelo diagrama de Venn-Euler

- Designam-se por diagramas de Venn-Euler os diagramas usados em matemática para simbolizar graficamente propriedades, axiomas e problemas relativos aos conjuntos e sua teoria.

- Através de estudos relacionados à lógica, Jon Venn criou uma diagramação baseada em figuras no plano. Esse método consiste basicamente em “círculos” que possuem a propriedade de representar relações entre conjuntos numéricos. Também pode ser utilizado no estudo da Estatística, a fim de organizar e analisar dados colhidos em pesquisas de opinião.

Aplicação do diagrama de Venn-Euler: Considerando que o nosso universo contém os números 1, 2, 3 e 4. Seja A o conjunto que contém os números 1 e 2, isto é, A = {1, 2}. Seja B o conjunto que contém os números 2 e 3, portanto, B = {2, 3}. Abaixo, apresentam-se as relações entre conjuntos, tendo as “soluções” do diagrama sombreadas em azul:

Notação do conjunto

Diagrama de Venn- Euler

Resposta

A ∪ B

[pic 2]

{1,2,3}

A ∩ B

[pic 3]

{2}

~A

[pic 4]

{3,4}

A – B

[pic 5]

{1}

~(A ∪ B)

[pic 6]

{4}

~(A ∩ B)

[pic 7]

{1,3,4}

- Aplicando-se o diagrama de Venn-Euler na resolução de problemas matemáticos: De quarenta alunos, 14 estão atendendo a aulas de Inglês e 29 estão atendendo às aulas de Química.

a) Se cinco estudantes atendem a ambas as aulas, quantos estudantes atendem a nenhuma das aulas?

b) Quantos alunos atendem a qualquer uma das aulas?

c) Qual é a probabilidade de que um aluno escolhido aleatoriamente a partir deste grupo estar atendendo apenas à classe de química?

Existem duas classificações neste universo: os alunos de inglês e estudantes de química.

[pic 8]

Sabe-se que 5 estudantes atendem às duas aulas:

[pic 9]

Subtraindo-se 5 alunos dos 14 de Inglês, temos que 9 alunos atendem exclusivamente às aulas de Inglês. Fazendo o mesmo com o número de alunos das aulas de Química, descobre-se que 24 alunos atendem exclusivamente às aulas de Química

[pic 10]

38 estudantes (9+5+24=38) atendem às aulas de Inglês, Química ou ambas. Sabendo-se que há 40 alunos, 2 alunos (40-38=2) não atendem à nenhuma aula.

[pic 11]

Portanto:

a-) Dois estudantes não atendem as aulas.

b-) Há 38 alunos em pelo menos uma das classes.

c-) Existe uma probabilidade de 24/40 = 0,6 = 60% que um estudante escolhido aleatoriamente no grupo atenda às aulas de Química, mas não às de Inglês.

- Demonstrações por contradição (por absurdo)__________

3.1 O que é contradição

- Na lógica clássica, uma contradição consiste numa incompatibilidade lógica entre duas ou mais proposições. Isso ocorre quando as proposições, tomadas em conjunto, geram duas conclusões formam as inversões lógicas, geralmente opostas uma da outra. Ilustrando uma tendência geral na lógica aplicada, a lei de Aristóteles da não-contradição afirma que "Não se pode dizer de algo que é e que não é no mesmo sentido e, ao mesmo tempo." Por extensão, fora da lógica clássica, pode-se falar de contradições entre as ações quando se presume que seus motivos se contradizem.

Exemplo:

Prova por contradição que é irracional.[pic 12]

Um número racional pode ser escrito na forma de , onde p e q são números inteiros, primos entre si. Assume-se, portanto:[pic 13]

= = [pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

2 q² = p²

Logo, p² é um número par, pois é múltiplo de 2. Isto implica em p ser par também, caso contrário, se "p" fosse ímpar, não conteria o 2 como fator, que não poderia então aparecer quando se elevasse “p” ao quadrado. Quando um quadrado perfeito M² é múltiplo de um certo primo R, M também será múltiplo de R, já que a decomposição em fatores primos de M² conterá sempre pares (que formam o quadrado) de seus fatores primos. Se “p” é par, “p” pode ser escrito na forma “2m” onde m é um número inteiro e, então, teremos: p²= 4m², que nos leva a

2m² = q²

Logo “p” e “q” são pares e, portanto, não podem ser primos entre si. Esta conclusão é o contrário do que se tomou por hipótese. Usando o princípio do terceiro excluído (citado no capítulo “4.3 – Tabela Verdade” deste trabalho): “p” e “q” não podem ser e não ser, conjuntamente, primos entre si. Eis o absurdo a que chegamos ao supor que era racional. Logo, é irracional.[pic 18][pic 19]