A Função Afim ou Função Polinomial

...

a) Definição:

Uma função f: R [pic 14]R chama-se função quadrática quando existem constantes reais a, b e c, com a, b, c[pic 15] R e a[pic 16] 0 tais que f(x) = ax2 + bx + c.

b) Existência dos zeros da função quadrática

Um zero de uma função quadrática f é um número [pic 17] tal que f(a)=0. Mas como achar os zeros de uma função quadrática?

Simples; resolvendo a equação quadrática correspondente ax2 + bx + c = 0

Denomina-se discriminante da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0 ao número b2 - 4ac, que representamos pela letra Δ (leia: delta).

Δ = b2 – 4ac

A equação do 2º grau tem raízes reais (que são os zeros da função quadrática) se, e somente se, o discriminante for maior ou igual a zero.

As raízes são dadas por:

[pic 18]Ou seja, [pic 19]

Temos ainda:

• ∆ > 0 (as duas raízes são números reais distintos)

• ∆ = 0 (raiz dupla)

• ∆

Aplicação 04:

Quais os zeros da função quadrática [pic 20] dada por [pic 21]?

c) Representação gráfica:

Dada uma função f: R → R chama-se função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, com a, b, c∈ R e a≠ 0 , pode-se demonstrar que a sua representação gráfica é uma curva chamada de PARÁBOLA que, neste caso, pode ter a sua concavidade (abertura) voltada para cima no caso em que a>0 ou voltada para baixo no caso em que a

[pic 22]

Observação:

Um outro ponto extremamente importante é o fato que uma função quadrática pode assumir um valor máximo ou mínimo (dependendo do sinal e a). Esse ponto que corresponde ao máximo (no caso em que a 0) da função é denominado de vértice da parábola as suas coordenadas são facilmente determinadas em termo dos coeficientes a, b e c. De fato, verifica-se que. Uma outra forma bastante prática para determinarmos o yv é fazer yV = f(xV). Observe:

[pic 23][pic 24]

Com relação ao conjunto imagem de uma função quadrática temos dois casos, a saber:

1º) quando a >0,[pic 25]

[pic 26]

2º) quando a [pic 27]

[pic 28]

Aplicação 05:

Após uma análise de mercado, concluiu-se que um produto seria vendido de conformidade com a fórmula Q = 2000 – 100.P, na qual Q representa a quantidade que será vendida ao preço unitário P. Sabendo que o lucro por unidade vendida é P – 10, encontre:

a) uma fórmula que determine o lucro total, em função de P;

b) o valor de P, para que o lucro total seja o maior possível.

Aplicação 06:

Um lote retangular, doado a uma instituição filantrópica, deverá ser demarcado num terreno em formato de triângulo retângulo. Na figura ao lado, x e y representam as dimensõesdesse lote.

[pic 29]

a) Sabendo que a área, S, do lote é dada pela expressão [pic 30] , determine o valor de x para que o lote doado tenha a maior área possível.

b) Usando os dados da figura e a fórmula para cálculo da área de um retângulo, mostre como obter a expressão [pic 31] .

Aplicação 07:

Uma empresa de turismo fretou um avião com 200 lugares para uma semana de férias, devendo cada participante pagar R$500,00 pelo transporte aéreo, acrescidos de R$10,00 para cada lugar do avião que ficasse vago. Nessas condições, o número de passagens vendidas que torna máxima a quantia arrecadada por essa empresa é igual a:

Aplicação 08:

Durante um passeio noturno de barco, diversão preferida de um grupo de jovens, surgiu uma situação de perigo, em que houve necessidade de disparar um sinalizador para avisar o restante do grupo que ficara no acampamento.A função que descreve o movimento do sinal luminoso é dada por h(t) = 30t - 3t2, onde h é a altura do sinal em metros e t, o tempo decorrido em segundos, desde o disparo até o momento em que o sinalizador cai na água. Assim, a altura máxima atingida pelo sinalizador e o tempo decorrido até cair na água são, respectivamente:

Aplicação 09:

Um criador dispõe de 100 metros lineares de tela para cercar um curral em formato retangular, usando a maior área possível e aproveitando uma parede existente, conforme mostra a figura a seguir.

Parede[pic 32]

É possível, portanto, afirmar que a área cercada pelo criador, em m², é de:

V – Função Modular

Módulo de um número real

Dado um número real x, definimos o seu módulo (ou valor absoluto) por

[pic 33]

Ou seja, se x é um número real não negativo o seu módulo é o próprio x e no caso em que x é negativo, o módulo de x é –x.

Exemplos:

a) [pic 34], pois 2 é positivo e o módulo de um número real não negativo é o próprio número.

b) [pic 35], pois