A HETEROCEDASTICIDADE

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Já nos dados de séries temporais, as variáveis tendem a ser de magnitudes similares, porque os dados costumam ser coletados para a mesma entidade ao longo de um período de tempo. Exemplos: PIB, gastos com consumo, poupança, emprego.

Veja: Tabela 11.1 Remuneração por funcionário em setores de produção de bens não duráveis de acordo com o número de funcionários

→ Em média as empresas grandes pagam mais do que as pequenas; há muita variabilidade na remuneração entre as várias categorias.

Figura 11.6 Desvio padrão e remuneração média

→ O desvio padrão da remuneração aumenta com o valor médio da remuneração.

[pic 5]

Figura 11.6 Desvio padrão e remuneração média

11.2 Estimativa dos MQO na presença de heterocedasticidade

O que acontece com os MQO e suas variâncias se introduzirmos a heterocedasticidade fazendo E(ui2) = σi2, mas mantivermos as demais hipóteses do modelo clássico?

Seja o modelo:

Yi = β1 + β2Xi + ui

O estimador de B2 é:

2 = (11.2.1)[pic 6][pic 7]

Mas a variância agora é dada pela expressão a seguir (conforme apêndice 11A):

Var (2)= (11.2.2)[pic 8][pic 9]

que é diferente da fórmula usual de variância obtida, supondo a homocedasticidade:

Var (2)= (11.2.3)[pic 10][pic 11]

→ 2 será o melhor MELNT quando as hipóteses do modelo clássico, que incluem a homocedasticidade, forem válidas. [pic 12]

→ Quando excluímos a homocedasticidade, isto é, na presença de heterocedasticidade, os s são lineares, não tendenciosos e consistentes. [pic 13]

↔ Diz-se que um estimador 2 é um estimador linear se ele for uma função linear das observações amostrais.[pic 14]

↔ Diz-se que um estimador é não-tendencioso (ou não-viesado) se seu valor médio ou esperado E(2) é igual ao verdadeiro β2: E(2) = β2. Isso significa que, se β2 for calculado um grande número de vezes para amostras distintas, então a média de todas essas estimativas será igual a β2. No entanto, se E(2) - β2 ≠ 0, ter-se-á um viés (ou tendenciosidade). (A não tendenciosidade não depende dos termos de erro homocedásticos, pois ela nada informa sobre a dispersão da estimativa do parâmetro).[pic 15][pic 16][pic 17]

↔ Diz-se que um estimador é consistente se ele se aproxima do verdadeiro β conforme o tamanho da amostra fica cada vez maior.

Sob heterocedasticidade, embora o 2 ainda seja linear, não tendencioso e consistente, ele é “eficiente” ou “melhor”?[pic 18]

Não. Neste caso, os estimadores deixam de ser eficientes e não são mais MELNT porque a variância do estimador não é mínima.

Um estimador com grande variância conduzirá a estimativas muito distantes da realidade ou do verdadeiro valor do parâmetro β2.

Sendo assim, qual é o MELNT na presença de heterocedasticidade?

11.3 O Método dos Mínimos Quadrados Generalizados (MQG)

MQO não é adequado na presença de heterocedasticidade porque ele dá peso igual a cada observação. No entanto, há situações em que há muita variabilidade nas informações (veja o exemplo da Tabela 11.1, que mostra dados sobre a remuneração dos assalariados).

Em casos como este, o ideal seria dar menos peso às observações vindas de população com maior variabilidade e dar maior peso as observações obtidas de populações com menor variabilidade. Isso é feito pelo método MQG.

Veja equações (p. 375 a 377):

(11.3.1)[pic 19]

(11.3.2)[pic 20]

Em que X0i = 1 para cada i.

) (11.3.3)[pic 21]

Para facilitar, reescrevemos (11.3.3):

(11.3.4)[pic 22]

Por que o modelo original foi transformado?

var([pic 23]

= [pic 24]

= [pic 25]

=1 (11.3.5)

O procedimento de transformar as variáveis originais de forma que as transformadas satisfaçam as hipóteses do modelo clássico e então aplicar os MQO a elas é conhecido como o método dos MQG. Os estimadores obtidos são conhecidos como estimadores MQG que são MELNT. O método dos MQG também é chamado de método dos mínimos quadrados ponderados (MQP).

Veja equações 11.3.6 a 11.3.11 (p. 377-378)

O estimador de MQG para :[pic 26]

(11.3.8)[pic 27]

E sua variância é dada por:

var( (11.3.9)[pic 28]

em que [pic 29]

Qual é a diferença entre os MQO e MQG?

MQO minimiza a soma dos quadrados dos resíduos:

(11.3.10)[pic 30]

MQG minimiza a soma ponderada dos quadrados dos resíduos:

(11.3.11)[pic 31]

[pic 32]

Figura 11.7: Diagrama de dispersão hipotético.

11.4 Consequências de usar MQO na presença de heterocedasticidade

são MELNT.[pic 33]

Estimação de MQO admitindo-se heterocedasticidade (estimar com a fórmula de variância heterocedástica)[pic 34]

var ()