O Polinômios e fatoração

...

até encontrarmos um par que funcione (se nenhum par funciona, então

o trinômio é irredutível), como no Exemplo 8.

Com a prática você verá que não é necessário listar todos os possíveis fatores binomiais.

Muitas vezes, podemos testar as possibilidades mentalmente.

Para fatorar o trinômio, uma outra opção é utilizar o seguinte resultado:

ax2 + bx + c = a(x — x\)(x — x2)

com jq e x2 soluções da equação ax2 + bx + c = O (veremos a resolução dessa equação posteriormente).

Podemos estender a técnica dos Exemplos 8 e 9 para trinômios com duas variáveis como temos

no Exemplo 10.

Fatoração por agrupamento

Note que (a + b)(c + d) = ac + ad + bc. Se um polinômio com quatro termos é o produto de dois binômios, podemos agrupar os termos para fatorar. Para isso, utilizamos a fatoração colocando o termo comum em evidência duas vezes.

Fatoração de polinômios

01. Observar os fatores comuns.

02. Observar as formas especiais dos polinômios.

03. Usar pares de fatores.

04. Se existirem quatro termos, tentar agrupá-los.

Algumas fórmulas importantes de álgebra

Potênias

Se todas as bases são diferentes de zero:

umun = um+n

u0 = 1

(u/v)^m= u^m/u^n

u^m/u^n = u^(m-n)

√(n&u^m ) (√(n&u)) ͫ

(um)n = umn

Entre outras.

Produtos notáveis e fatores de polinômios

(u + v)(u - v) = u2 -v2

(u + v) 2 = u2 - 2uv + v2

(u - v) 2 = u2 - 2uv + v2

( u + v)3 = u3 + 3u2v + 3uv2 + v3

Entre outras. Radicais e expoentes racionais

Se todas as raízes são números rais:

√(n&uv)= √(n&u) • √(n&v)

√(n&u/v) = √(n&u)/√(n&v) (v ≠ 0)

√(m&√(n&u))= √(mn&u)

Entre outras.

Expressões fracionárias

Domínio de uma expressão

algébrica

Um quociente de duas expressões algébricas, além de ser

outra expressão algébrica, é uma expressão fracionáría ou

simplesmente uma fração. Se o quociente pode ser escrito

como a razão de dois polinómios, então a expressão fracionária

é uma expressão racional. A seguir temos um exemplo

de cada uma dessas expressões:

Vemos que o primeiro exemplo é uma expressão fracionária, mas não é uma expressão racional.

0 segundo é tanto uma expressão fracionária como racional.

Diferentemente dos polinómios que são definidos para todos os números reais, algumas

expressões algébricas não são definidas para alguns números reais. O conjunto dos números reais

para os quais uma expressão algébrica é definida é o domínio da expressão algébrica.

Simplificação de expressões racionais

Sejam u, v e z números reais, variáveis ou expressões algébricas. Podemos escrever expressões

racionais na forma mais simples usando

contanto que z seja diferente de zero. Isto requer uma fatoração do numerador e denominador em

fatores primos. Quando todos os fatores comuns do numerador e denominador forem removidos, a

expressão racional (ou número racional) está na forma reduzida.

Duas expressões racionais são equivalentes se elas têm o mesmo domínio e os mesmos valores

para todos os números no domínio. A forma reduzida de uma expressão racional precisa ter o

mesmo domínio que a expressão racional original. Esta é a razão que nos levou a adicionar a

restrição x + 3 para a forma reduzida no Exemplo 2.

Operações com expressões racionais

Duas frações são iguais, U/V = Z/W— se, e somente se, uw = vz.

Operações com frações

Sejam «, v, w e z números reais, variáveis ou expressões algébricas. Todos os denominadores

são considerados como diferentes de zero.

Operação

01. u/v + w/(v )= (u+w)/v

02. u/v+ w/z= (uz+vx)/vz

03. u/v ∙ w/z= uw/vz

04. u/v ÷ w/z= u/v ∙ z/w= uz/vw