A MAUT na Decisão Multicritério

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO - CAA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO[pic 1]

DECISÃO MULTICRITÉRIO

4. TEORIA DA UTILIDADE MULTIATRIBUTO

Ana Beatriz Medeiros da Silva e Eva Maria Morais de Azevedo

• 4.1 Estrutura geral de MAUT
• 4.2 Espaço das consequências
• 4.3 Axiomas da teoria da utilidade
• 4.4 Elicitação da função utilidade unidimensional
• 4.5 Função utilidade multiatributo
• 4.6 Estudo das condições de independência preferencial em MAUT
• 4.7 Procedimento geral para elicitação da função utilidade multiatributo
• 4.8 MAUT com mais de dois atributos
• 4.9 Modelos de agregação para o caso de dependência preferencial
• 4.10 MAUT – teoria ou método
• 4.11 Aplicabilidade de MAUT

• Breve contexto histórico:

• Surgiu como derivação natural da Teoria da Utilidade e esse conceito de utilidade foi descrito por Bernoulli em 1738 como unidade para medir preferência.
• Em 1789, Jeremy Bentham associou utilidade com “propriedade em qualquer objeto, pela qual ele tende a

produzir benefício, vantagem, prazer, bem ou felicidade”.

• Em 1944, “Theory of games and economic behaviour” foi um marco para a Teoria da Utilidade. Ela se relaciona também a outros temas, como teoria dos jogos e teoria da decisão.

• Em 1968 Howard Raiffa destacou o insight fundamental para MAUT que se qualquer objeto pode ser valorado (atribuir valor) e avaliado, então ele é valorado por mais de uma razão.
• Ou seja, o MAUT deriva da teoria da utilidade e teoria da decisão

• Características Gerais:

• MAUT é uma das abordagens mais clássicas para métodos de DM.
• O modelo de agregação mais usado é o modelo aditivo.
• Critérios são chamados de ATRIBUTOS.
• Fornece uma estrutura axiomática sólida e consistente para Decisão Multicritério.

MAUT X MAVT:

A diferença fundamental entre MAVT e MAUT é que os modelos relativos à função valor estão relacionados a consequências determinísticas, já os relativos à função utilidade estão relacionados a consequências probabilísticas.

Então, em problemas com modelagem probabilística, o tratamento das incertezas é inserida dentro da estrutura axiomática de MAUT.

• Modelos MAUT geralmente usam a abordagem de Teoria da Decisão, que permite tratar as incertezas inerentes aos problemas a serem analisados com o uso de conhecimentos a priori de especialistas no sistema de produção.
• Alguns problemas são tratados sob a ótica dos ingredientes básicos de TD:

• Estado da Natureza (θ)
• Ações que o Decisor Pode Adotar (a)
• Consequências (P)

θ é avaliado com base na análise estatística dos dados do sistema, juntamente com

o conhecimento a priori de especialistas por meio de distribuição de probabilidade:

a priori π (θ)

ATENÇÃO:

• É importante tomar cuidado ao diferenciar a expressão “função utilidade” de “função valor”.
• Função Utilidade está associada a uma avaliação das consequências num contexto probabilístico. Função Valor com uma avaliação das consequências        num        contexto        de        certeza.

• De forma resumida: o problema do decisor consiste em escolher a alternativa a em A que o deixe mais satisfeito com o resultado X1(a),..., Xn(a), onde Xi representa os atributos de avaliação.
• Então é preciso ter um índice que combine X1(a),...Xn(a) em um índice de valor, que é a função utilidade. Portanto, deve-se obter uma função utilidade u definida sobre o espaço das consequências, atendendo        às        propriedades        da        teoria.

• Espaço das consequências:
• Similar ao de MAVT, porém nesse caso se consideram consequências probabilísticas, de forma que a ligação entre a e X é uma distribuição probabilística.
• Nesse caso se considera a probabilidade igual a 1.[pic 2]

• Geralmente, cada alternativa de ação possui consequências que são avaliadas pelo decisor.
• Essas consequências são avaliadas conforme cada critério ou atributo pelo método multicritério usado.

• Estado da Natureza:
• Representa as variáveis não controladas pelo decisor, que estariam assim sob “controle” da natureza.
• Então, para cada combinação de Estado da Natureza e alternativa de ação, tem uma consequência.

• Variáveis não controladas são obtidas como?
• Dados, conhecimento a priori de especialista, ou ainda combinação dos dois.
• Pode haver uma etapa de modelagem probabilística na análise do problema, para complementar a modelagem de preferências do decisor.
• A forma como incertezas são inseridas dentro de uma estrutura axiomática permite uma abordagem muito mais consistente com a aplicação de MAUT a problemas multicritério de decisão sob situação de incerteza.

• Então, problema básico consiste em estruturar e quantificar uma função utilidade u, ou seja, uma função f que:[pic 3]

Onde ui  é a função utilidade sobre o atributo Xi.

• Para o caso de dois atributos x, y tem-se:

[pic 4]

• x* e y* representam os valores mais desejáveis[pic 5]

para cada atributo

• x0 e y0 representam os valores menos desejáveis.
• A utilidade do ponto mais desejável (x*, y*) é

igual à unidade, ou seja igual a 1.

• Numa escala de utilidade (0,1), tem-se também u(x0, y0) = 0.

• A função utilidade é obtida por meio de um protocolo chamado elicitação da função utilidade, que é estruturado e fundamentado na estrutura axiomática da Teoria da Utilidade, incluindo a questão probabilística sobre a avaliação de escolhas entre diferentes consequências.

• No protocolo é realizada a avaliação e estudo das condições de independência em preferência do decisor com relação aos atributos. A independência em utilidade implica uma independência das preferências do decisor entre os atributos, de maneira a simplificar a forma analítica da função utilidade multiatributo.

• Para obter a função utilidade multiatributo, deve-se obter inicialmente a função utilidade condicional para cada atributo separadamente e, em seguida, avaliar e determinar a função utilidade multiatributo (procedimento de agregação multicritério).

• Conceito de Loterias: [A, p; C, 1 - p] representa uma loteria entre as consequências A e C, onde p é a probabilidade de obter a consequência A e 1-p é a probabilidade de obter a consequência C.

[pic 6]

• Na Teoria da Utilidade, é possível evitar inconsistências na estruturação do problema, fazendo com que o decisor seja coerente com suas preferências, obedecendo os axiomas.
• Função Utilidade do decisor tem que ser definida em conformidade com os axiomas.

• Axiomas, considerando as relações de preferência P e indiferença I:

• Axioma da ordenabilidade: dadas as consequências A e B, pode-se dizer que A P B ou A I B ou B P A.
• Axioma da transitividade: para preferências, se A P B e B P C, então A P C; para

indiferença, se A I B e B I C, então A I C.

• Axioma da dominância: se A P B, então existe p, 0 < p <= 1, tal que para qualquer C: [A, p ; C, 1-p] P [B, p ; C, 1 - p]; válido também para I no lugar de P.
• Axioma arquimediano: se A P B P C, então existem p e q, 0 < q < p < 1, tal que [A, p ; C, 1 - p] P B P [A, p ; C, 1 - q]

4.4 Elicitação da função utilidade unidimensional

• Considerando um problema de decisão com n consequências de um atributo  qualquer,  representadas  por  x1,  x2,  x3,…,  xn    e  que  o  decisor estabeleça uma ordem de preferência entre elas.
• Ele considera xn a mais preferível e x1 a menos preferível e essas consequências podem ser ordenadas da forma:

4.4 Elicitação da função utilidade unidimensional

• Considerando um problema de decisão com n consequências de um atributo   qualquer,   representadas   por   x1,   x2,   x3,…,   xn      e   que   o   decisor estabeleça uma ordem de preferência entre elas.
• Ele   considera   xn       a   mais   preferível   e   x1       a   menos   preferível   e   essas consequências podem ser ordenadas da forma:

[pic 7]

• Observação: aqui fica perceptível o axioma da ordenabilidade. Ao atender esse axioma, a relação de preferência de incomparabilidade é excluída. E incomparabilidade não é permitida aqui.

4.4 Elicitação da função utilidade unidimensional

• Agora considerando uma Loteria entre as consequências de maior e menor  preferência  xn     e  x1:  [xn,  p;  x1,  1-p].  Se  o  decisor  tiver  que declarar suas preferências entre essa Loteria e cada consequência xi, então são oferecidas a ele duas opções:
• Opção de certeza - denominada xi
• Opção de risco - [xn, p; x1, 1-p]

4.4 Elicitação da função utilidade unidimensional

• Para   cada   indiferença   entre   xi    e   a   Loteria   [xn,   p;   x1,   1-p],   tem   uma probabilidade pi, que representa a probabilidade para a qual há indiferença do decisor entre a Loteria e a consequência xi.
• Considerando que o decisor seja consistente, obtém-se pn   = 1 e p1   = 0. As probabilidades pi obtidas estarão relacionadas com o valor da consequência  xi     na  escala  xn,  x1.  Ou  seja,  as  probabilidades  pi     obtidas correspondem a uma escala numérica das consequências xi.
• O princípio básico da Teoria da Utilidade é empregar as probabilidades pi na obtenção do valor esperado das consequências x1.

4.4 Elicitação da função utilidade unidimensional

• Equivalente certo: para a Loteria [xn, p; x1, 1-p], mostrada anteriormente, x1 é definido como o equivalente certo, quando, para o decisor, há indiferença entre a loteria e x1.

• O equivalente certo é relevante na determinação da utilidade para as consequências de um problema de decisão.

• Na        literatura        tem        vários        procedimentos        para        a        elicitação        da        função utilidade unidimensional, todos baseados no uso do equivalente certo C.

4.4 Elicitação da função utilidade unidimensional

• Por exemplo, pode ser na obtenção de C para uma determinada Loteria [A, p; B, 1-p], sendo que p nessa loteria representa a utilidade de C, ou seja u (C), na escala (A, B) onde u (A) = 1 e u (B) = 0. De forma alternativa, pode ser na obtenção da probabilidade p para a qual há indiferença entre a Loteria e C.
• Geralmente A e B correspondem, respectivamente, ao mais e ao menos preferível das consequências. Ou seja, o início e fim da escala de utilidade. Como a utilidade da consequência C - u(C) - deve ser igual à utilidade esperada da Loteria, então:

[pic 8]

A função utilidade para um conjunto de consequências pode ser obtida por meio de um dos dois procedimentos:

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