Algebra Linear em Engenharia
Por: Juliana2017 • 12/9/2017 • 6.579 Palavras (27 Páginas) • 540 Visualizações
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[pic 29]
Observe que –A, matriz oposto da matriz A, é obtida trocando-se os sinais de todos os elementos de A.
Exemplos:
- [pic 30]
- [pic 31]
- IGUALDADE DE MATRIZES
Se duas matrizes A e B forem do mesmo tipo m x n, diremos que um elemento de B é o correspondente de um elemento de A quando ele ocupar, na matriz B, a mesma posição que o outro ocupa na matriz A.
Por exemplo, sendo
[pic 32]
são elementos correspondentes em A e B:
[pic 33]
Assim, são elementos correspondentes em duas matrizes do mesmo tipo aqueles que possuem o mesmo índice. Diremos que duas matrizes são iguais quando forem do mesmo tipo e tiverem todos os elementos correspondentes iguais.
Sendo temos:[pic 34]
[pic 35]
Exemplos:
- Ou seja Matriz A=B. [pic 36]
- Determine x e y para que s matrizes A e B sejam iguais, sendo:
[pic 37]
Solução:
[pic 38]
[pic 39]
- ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES
- Procedimento
A adição ou a subtração de duas matrizes, A e B, do mesmo tipo é efetuada adicionando-se ou subtraindo-se, respectivamente, os seus elementos correspondentes.
De modo geral, se temos:[pic 40]
[pic 41]
[pic 42]
[pic 43]
Exemplos:
a) Adição:
Sendo temos: [pic 44]
Solução:
[pic 45]
b) Subtração:
Sendo temos: [pic 46]
Solução:
[pic 47]
[pic 48]
- Propriedades da Soma
Para matrizes A, B e C, de mesmo tipo m x n, valem as propriedades:
Comutativa: A+B = B+A Elemento neutro: A+0=A
Associativa: (A+B)+C = A+(B+C) Elemento oposto: A+(-A)=0
Observação: Neste caso, 0 representa a matriz nula do tipo m x n.
Exemplos:
a) Sendo Calcule: A+ B e B+A[pic 49]
Solução:
[pic 50]
[pic 51]
Logo se verifica que: A+B = B+A (Propriedade comutativa)
b) Sendo Calcule: (A+B)+C e (B+C)+A.[pic 52]
Solução:
[pic 53]
[pic 54]
Logo se verifica que: (A+B)+C = (B+C)+A (Propriedade Associativa).
- MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZ POR UM NÚMERO REAL
- Procedimento
Para multiplicar um número real por uma matriz multiplicamos o número por todos os elementos da matriz, e o resultado é uma matriz do mesmo tipo.
Dada uma matriz e um número real k, chama-se produto de k por A a matriz onde [pic 55][pic 56][pic 57]
B = k.A → com [pic 58][pic 59]
Observação: Se A é uma matriz e k uma escalar, então o produto kA é a matriz obtida pela multiplicação de cada entrada da matriz A por k. A matriz kA é chamada multiplico escalar de A.
Exemplos:
a) Sendo Determine : -2A . [pic 60]
Solução:
[pic 61]
b) Sendo Determine : B. [pic 62][pic 63]
Solução:
[pic 64]
- MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
- Procedimento
Na multiplicação de matrizes, devemos “multiplicar linha por coluna”, ou seja, multiplicamos o 1° número da linha pelo 1° número da coluna, o 2° número da linha pelo 2° numero da coluna, etc., então a quantidade de colunas A deve ser igual á quantidade de linhas de B. A matriz produto C terá o número de linhas de A e o número de colunas de B.
[pic 66][pic 67][pic 68][pic 69][pic 70][pic 65]
[pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75]
Generalizando, dizemos que dada uma matriz se e uma matriz , denomina-se produto de A por B a matriz tal que o elemento é a soma dos produtos dos elementos da i-ésima linha de A pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna de B.[pic 76][pic 77][pic 78][pic 79]
[pic 80]
Considere as matrizes e a matriz C = A . B[pic 81]
→ A . B = C [pic 82]
Exemplos:
a) Sendo Determine A x B.[pic 83][pic 84]
Solução: Como A é 2x3 e B é 3x1 podemos calcular AxB que será 2x1.
= [pic 85][pic 86]
b) Sendo , Determine A x B. [pic 87]
Solução: Como A é 1x3 e B é 3x1 podemos calcular AxB
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